Operaciones lógicas (Semana 3)

 

Simplificación de funciones a partir del uso de teoremas

Cuando una expresión de Boole es pasada a compuertas, cada una de las literales en la expresión corresponde a una entrada para el circuito, lo que se traduce en componentes. Debido a que el costo es generalmente un factor importante en la construcción de un circuito, es deseable que el circuito a construir tenga el menor número de compuertas lógicas. Para cumplir con este objetivo, se utilizan los teoremas del álgebra booleana para simplificar expresiones booleanas. Al simplificar una expresión booleana se puede llegar a distintos resultados, lo ideal es llegar a la expresión mínima.

Mapa de Karnaugh

Un mapa de Karnaugh es un método sistemático de simplificación de expresiones booleanas (funciones lógicas) y, si se aplica adecuadamente, genera las expresiones suma de productos y producto de sumas más simples posibles de esa función lógica, conocidas como expresiones mínimas. Existe otro método para simplificar funciones lógicas, aplicando las reglas y teoremas de álgebra de Boole, pero mediante los mapas de Karnaugh ese proceso de simplificación se resuelve de manera gráfica, más sencillo y más intuitivo.

Poniendo la ecuación según los valores que toman las entradas A, B y C tenemos:

El siguiente paso es hacer el mapa de Karnaugh de tres variables.

El siguiente paso es realizar agrupaciones de «unos», de tal forma que queden en grupos de 2ⁿ , es decir, en grupos de 1, 2, 4, 8, 16, etc. «unos». En este caso, las agrupaciones que se pueden realizar son:

Hay que realizar el menor número de agrupaciones posible y del mayor tamaño que se pueda, Si no se cumplen ambas condiciones, la función no se habrá simplificado al máximo.

En cada agrupación nos fijaremos en las variables que NO cambian de valor de una celda a otra, dentro de la misma agrupación. De las 3 agrupaciones realizadas, se obtienen los siguientes valores:

Por lo tanto, la función lógica simplificada es:

Operaciones lógicas

Las operaciones lógicas son expresiones matemáticas cuyo resultado es un valor booleano (verdadero o falso, en PHP, true o false). Estas expresiones se utilizan principalmente en las estructuras de control.

Combinando proposiciones simples obtenemos proposiciones compuestas mediante operaciones lógicas.

Las principales operaciones lógicas son: conjunción, disyunción, negación, condicional y Bicondicional.

A cada una de estas operaciones lógicas le corresponde una tabla de verdad.

p q	p Ù q
V V V F F V F F	V F F F

• Conjunción.: Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lógico "y" conforman la proposición compuesta llamada conjunción, la cual se simboliza así:     p Ù q.

p q	p Ú q
V V V F F V F F	V V V F

• Disyunción. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lógico "O" conforman la proposición compuesta llamada disyunción, la cual se simboliza así:     p Ú q.

~ p se lee: no p 

o también: no es cierto que p

p	~ p
V F	F V

• Negación. Dada una proposición simple p, esta puede ser negada y convertirse en otra proposición llamada negación de p, la cual se simboliza así:

p q	p Þ q
V V V F F V F F	V F V V

• Condicional o Implicativa. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lógico "entonces" conforman la proposición compuesta llamada condicional o implicativa, la cual se simboliza así: p Þ q:
• Bicondicional. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lógico "si y sólo si" conforman la proposición compuesta llamada conjunción, la cual se simboliza así: p « q.

p q	p Û q
V V V F F V F F	V F F V

Como conclusión esta aplicación es muy práctica ya que en verdad reduce y/o simplifica expresiones donde normalmente se usan 5 o 6 compuertas lógicas se puede llegar a reducir hasta tan solo 2 compuertas, de esta manera se ahorra un gasto económico y se ahorra la pérdida de tiempo en estar armando circuitos tan laboriosos.