Álgebra de Boole (Segunda semana )
- Aritmética binaria
Todas las operaciones matemáticas (sumas, restas, divisiones, etc.) que realiza la computadora están basadas en la aritmética binaria. La aritmética binaria es muy similar a la aritmética decimal.
Para realizar una suma binaria hay que tener en cuenta la siguiente tabla:
Si se quiere realizar una resta binaria se debe considerar la siguiente tabla:
EJEMPLO
Para efectuar una multiplicación binaria se tiene que tener en cuenta la siguiente tabla: |
En cuanto a las divisiones binarias, las reglas también son las mismas que en el Sistema Decimal, con la ventaja de que en binario sólo se usan dos dígitos.
- ALGEBRA DE BOOLE
Definiciones:
El álgebra de Boole está formada por un conjunto de variables Booleanas, x∈{0, 1}.
Es decir variables que sólo pueden tomar dos valores: 0 ó 1, abierto o cerrado, encendido o apagado, etc.
Un literal l es una variable o su negada. Existen dos tipos: literales con signo positivo cuando representan el valor ‘1’ de la variable (), y con signo negativo cuando representa el valor ‘0’ ().
Una cláusula (o término C) está formada por un conjunto de literales enlazados mediante conectivas lógicas.
Una fórmula lógica está formada por conjuntos de cláusulas enlazadas mediante conectivas lógicas. Matemáticamente, toda fórmula lógica de n variables puede verse también como una función multivariable, esto es .
Una interpretación de una fórmula lógica es el valor lógico de la fórmula cuando se le asignan valores de verdad (TRUE / FALSE) a sus variables.
Operaciones:
El álgebra de Boole está definido por 3 operaciones básicas: complemento, suma (OR) y producto (AND).
El complemento es el negado: . Viene dado por la tabla
La operación suma u OR se representa y viene dada por la tabla
La operación producto u AND se representa y viene dada por la tabla
Existen 17 diferentes teoremas del álgebra booleana las cuáles nos ayudan a simplificar las ecuaciones o diagramas booleanas.
Dentro de estas identidades tenemos dualidad, esto se obtiene simplemente intercambiando operaciones OR y AND y reemplazando unos por ceros.
Las leyes conmutativas indican que el orden en el cuál se escriben las variables no afectará el resultado cuando se utilicen las operaciones OR y AND.
Las leyes asociativas postulan que el resultado de formar una operación entre tres variables es independiente del orden que se siga y, por lo tanto, pueden eliminarse sin excepción todos los paréntesis.
También se suele utilizar el teorema de DeMorgan el cuál es muy importante ya que se aplica para obtener el complemento de una expresión. El teorema de DeMorgan se puede verificar por medio de tablas de verdad que asignan todos los valores binarios posibles a X y Y.
Conclusión:
El álgebra de Boole es una herramienta matemática usada en
el análisis y diseño de circuitos digitales. Las operaciones Booleanas básicas son OR, AND y NOT. Una compuerta OR proporciona un uno en su salida cuando
cualquiera de sus entradas es uno. Una compuerta AND
produce un uno en su salida cuando sus dos entradas son uno
y la compuerta NOT produce una salida opuesta a su entrada. Los teoremas y reglas Booleanos se pueden usar para
simplificar expresiones de un circuito lógico y pueden llevar a
una forma más simple de implementar el circuito. Las compuertas NAND pueden usarse para implementar
cualquier operación Booleana básica de la misma manera se
pueden usar las compuertas NOR.
Definiciones:
El álgebra de Boole está formada por un conjunto de variables Booleanas, x∈{0, 1}.
Es decir variables que sólo pueden tomar dos valores: 0 ó 1, abierto o cerrado, encendido o apagado, etc.
Un literal l es una variable o su negada. Existen dos tipos: literales con signo positivo cuando representan el valor ‘1’ de la variable (), y con signo negativo cuando representa el valor ‘0’ ().
Una cláusula (o término C) está formada por un conjunto de literales enlazados mediante conectivas lógicas.
Una fórmula lógica está formada por conjuntos de cláusulas enlazadas mediante conectivas lógicas. Matemáticamente, toda fórmula lógica de n variables puede verse también como una función multivariable, esto es .
Una interpretación de una fórmula lógica es el valor lógico de la fórmula cuando se le asignan valores de verdad (TRUE / FALSE) a sus variables.
Operaciones:
El álgebra de Boole está definido por 3 operaciones básicas: complemento, suma (OR) y producto (AND).
El complemento es el negado: . Viene dado por la tabla
La operación suma u OR se representa y viene dada por la tabla
La operación producto u AND se representa y viene dada por la tabla
Existen 17 diferentes teoremas del álgebra booleana las cuáles nos ayudan a simplificar las ecuaciones o diagramas booleanas.
Dentro de estas identidades tenemos dualidad, esto se obtiene simplemente intercambiando operaciones OR y AND y reemplazando unos por ceros.
Las leyes conmutativas indican que el orden en el cuál se escriben las variables no afectará el resultado cuando se utilicen las operaciones OR y AND.
Las leyes asociativas postulan que el resultado de formar una operación entre tres variables es independiente del orden que se siga y, por lo tanto, pueden eliminarse sin excepción todos los paréntesis.
También se suele utilizar el teorema de DeMorgan el cuál es muy importante ya que se aplica para obtener el complemento de una expresión. El teorema de DeMorgan se puede verificar por medio de tablas de verdad que asignan todos los valores binarios posibles a X y Y.
Conclusión:
El álgebra de Boole es una herramienta matemática usada en el análisis y diseño de circuitos digitales. Las operaciones Booleanas básicas son OR, AND y NOT. Una compuerta OR proporciona un uno en su salida cuando cualquiera de sus entradas es uno. Una compuerta AND produce un uno en su salida cuando sus dos entradas son uno y la compuerta NOT produce una salida opuesta a su entrada. Los teoremas y reglas Booleanos se pueden usar para simplificar expresiones de un circuito lógico y pueden llevar a una forma más simple de implementar el circuito. Las compuertas NAND pueden usarse para implementar cualquier operación Booleana básica de la misma manera se pueden usar las compuertas NOR.
Comentarios
Publicar un comentario